Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche by Otto Forster PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3528272317

ISBN-13: 9783528272319

ISBN-10: 366314173X

ISBN-13: 9783663141730

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen. Nach einer Einführung in die topalogischen Grundbegriffe werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhängige Integrale behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen. Wie im ersten Band wurde versucht, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik suitable sind. Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde berücksichtigt, daß die research 2 meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur Verfugung steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kürze des Sommersemesters ist nach meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration im 2. Semester nicht möglich, die besser dem three. Semester vorbehalten bleibt. Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer­ semester 1971 an der Universität Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor­ lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierfür meinen Dank sage.

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IRn eine Kurve. Unterteilt man das Intervall a = to < t 1 < ... < tk =b 28 Kapitel I. Differentialrechnung im IRn Bild 9 f(a) und verbindet die Punkte f ( ti _ 1) mit f ( ti) für i = 1, ... , k geradlinig, so erhält man einen Polygonzug im IRn, vgl. Bild 10. Die Länge dieses Polygonzugs ist gleich L llf(ti)- f(ti- )11. k Pr(to, ... , tk) := 1 i =1 Die Länge der Kurve wird nun definiert als Grenzwert der Längen der Polygonzüge bei immer feineren Unterteilungen. Definition. Eine Kurve f : [a, b] - IRn heißt rektifizierbar mit der Länge L, wenn zu jedem e > 0 ein 6 > 0 existiert, so daß für jede Unterteilung a = t 0 < t 1 < ...

1, § 22, Satz 2) existiert ein () E [0, 1 ], so daß k g(o) g(l) = I m=O ~+ g(o) _ - L m! -~ a und g 0, so daß die Kugel mit Mittelpunkt x und Radius lJ ganz in U liegt. Weiter sei f:U-IR eine k-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt fiir alle f(x +n= L "" Daf(x) -1 - ~ 0:. < Iai= k t ~E IRn mit II ~ II < ti o (ll~llk).

I,O(~)=o(ll~llk), I~~~ ... ~:n I ~ ll~llk = ll~lla 1 ••• 11~llan- 1 denn für Iai = k. Damit folgt die Behauptung. Bemerkung. Mit den obigen Bezeichnungen sei L Pm(~):= Daf,(x) a. lal=m r. Dann ist Pm ein homogenes Polynom m-ten Grades in ~ = (~ 1 , ••• , ~n) und es gilt k f(x+n= "'5-,Pm(~)+o(ll~llk) . m= o Wir wollen die Polynome Pm für die Fälle m = 0, 1, 2 genauer betrachten. a) m = 0. Da es nur ein n-tupel a E INn mit Ia I = 0 gibt, nämlich a = (0, ... , 0), gilt D0 f(x) Po(~) = O! = f(x). r P0 ist also eine Konstante, nämlich der Funktionswert von f im Entwicklungspunkt x.

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by George
4.3

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